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数学之美:杨辉三角(帕斯卡三角)的奇特性质

2018-07-26 分类:科学漫步 作者:西狂 阅读(13)

就是这个看上去平平无奇的数字三角形,却有一些非常奇妙甚至是神秘的特性,本文将一一为您揭晓。

杨辉三角(也称帕斯卡三角)相信很多人都不陌生,它是一个无限对称的数字金字塔,从顶部的单个1开始,下面一行中的每个数字都是上面两个数字的和。

杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲,帕斯卡(1623----1662)在1654年发现这一规律,所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年,比贾宪迟600年。

1、最外层的数字始终是 1

2、第二层是自然数列

3、第三层是三角数列

什么是三角数列,看一下下图就明白了,这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形。

4、三角数列相邻数字相加可得方数数列

什么又是方数数列呢?雷同与三角数列,就是它的数字始终可以组成一个完美的正方形。

5、每一层的数字之和是一个2倍增长的数列

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6、斐波那契数列

没错,如果按照一定角度将直线上的数字相加,我们也可以从杨辉三角中找到斐波那契数列。

斐波那契数列是指从 0,1 两个数开始,每一位数始终是前两位的和。这个数列有个神秘的特性,即越往后,相邻两数的比值越来越逼近黄金分割数 0.618 (或1.618,两数互为倒数)。斐波那契数列和黄金分割数不但在大自然中处处可见,在人类的艺术设计中也是应用非常广泛。

7、素数

素数是指只能被 1 和它本身整除的数字。然而在杨辉三角里,除了第二层自然数列包含了素数以外,其他部分的数字都完美避开了素数。

8、可以被特定数整除的数字形成了奇妙的分形结构

可以被 2 整除的数字

可以被 3 整除的数字

可以被 4 整除的数字

可以被 5 整除的数字

如果我们把杨辉三角再放大,就会发现这些可以被特定数字整数的数的分布非常有规律,它们会形成类似分形的图案。

分形

这些就是阁主总结的杨辉三角的几个奇妙特性,如果您有其他的发现,欢迎补充。

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