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整数 42 被攻破,数学猜想的证明获得重大推进

2019年09月08日 科学漫步 评论 2 条

现在,42 也被攻破了。

它可以被写成 3 个整数的立方之和,这是 100 以内自然数的最后一个“彩蛋”。

荣誉属于麻省理工的 Andrew Sutherland 和布里斯托大学 Andrew Booker。没错,两位同名的安德鲁共同完成了这一数学突破,并在 MIT 数学网站公布了结果。

但这又有什么意义呢?自然不是科幻电影《银河系漫游指南》中的“宇宙终极奥秘:42”。

3个立方之和问题最初开始于 1992 年,当时数学家罗杰希思·布朗推测,所有自然数都可以被写成 3 个数立方之和。但时间不断推移,规律不断被演绎推倒:

除了 9n±4 型自然数外,所有 100 以内的自然数应当都能写成三个整数的立方和。

但直到 2015 年,100 以内的自然数,还有 33、42 和 74 三个自然数,悬而未决,没有定论。

其后数学家 Sander Huisman 找到了 74 的解:

74 = (-284650292555885)³ + (66229832190556)³ + (283450105697727)³

而今年 3 月,33 也有了答案:

33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³

数学家 Tim Browning 在其个人主页上更新了该结果。

至如今,42 也别攻破,据说思路也受惠于 33 的解决。并且更直接的结果是 100 以内最后一个这样的数也有了答案,关于自然数是3个整数立方之和的表达,有了定理:

除了 9n±4 型自然数外,所有 100 以内的自然数都能写成三个整数的立方和。

而范围扩散到1000以内,目前还有10个自然数没有找到解:

114、165、390、579、627、633、732、906、921和975。

至于 100 以内自然数如何具体被按照3数立方之和表达,搬运如下(注:非零解,多种写法选取其中一个):

1 = (-1)³ + 1³ + 1³

2 = 7³ + (-5)³ + (-6)³

3 = 1³ + 1³ + 1³

4不可能

5不可能

6 = (-1)³ + (-1)³ + 2³

7 = 104³ + 32³ + (-105)³

8 = (-1)³ + 1³ + 2³

9 = 217³ + (-52)³ + (-216)³

10 = 1³ + 1³ + 2³

11 = (-2)³ + (-2)³ + 3³

12 = 7³ + 10³ + (-11)³

13不可能

14不可能

15 = (-1)³ + 2³ + 2³

16 = (-511)³ + (-1609)³ + 1626³

17 = 1³ + 2³ + 2³

18 = (-1)³ + (-2)³ + 3³

19 = 19³ + (-14)³ + (-16)³

20 = 1³ + (-2)³ + 3³

21 = (-11)³ + (-14)³ + 16³

22不可能

23不可能

24 = (-2901096694)³ + (-15550555555)³ + 15584139827³

25 = (-1)³ + (-1)³ + 3³

26 = 297³ + 161³ + (-312)³

27 = (-1)³ + 1³ + 3³

28 = 14³ + 13³ + (-17)³

29 = 1³ + 1³ + 3³

30 = (-283059965)³ + (-2218888517)³ + 2220422932³

31不可能

32不可能

33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³

34 = (-1)³ + 2³ + 3³

35 = 14³ + (-8)³ + (-13)³

36 = 1³ + 2³ + 3³

37 = 50³ + 37³ + (-56)³

38 = 1³ + (-3)³ + 4³

39 = 117367³ + 134476³ + (-159380)³

40不可能

41不可能

42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³

43 = 2³ + 2³ + 3³

44 = (-5)³ + (-7)³ + 8³

45 = 2³ + (-3)³ + 4³

46 = (-2)³ + 3³ + 3³

47 = 6³ + 7³ + (-8)³

48 = (-23)³ + (-26)³ + 31³

49不可能

50不可能

51 = 602³ + 659³ + (-796)³

52 = 23961292454³ + 60702901317³ + (-61922712865)³

53 = (-1)³ + 3³ + 3³

54 = (-7)³ + (-11)³ + 12³

55 = 1³ + 3³ + 3³

56 = (-11)³ + (-21)³ + 22³

57 = 1³ + (-2)³ + 4³

58不可能

59不可能

60 = (-1)³ + (-4)³ + 5³

61 = 845³ + 668³ + (-966)³

62 = 3³ + 3³ + 2³

63 = 7³ + (-4)³ + (-6)³

64 = (-1)³ + 1³ + 4³

65 = 91³ + 85³ + (-111)³

66 = 1³ + 1³ + 4³

67不可能

68不可能

69 = 2³ + (-4)³ + 5³

70 = 11³ + 20³ + (-21)³

71 = (-1)³ + 2³ + 4³

72 = 7³ + 9³ + (-10)³

73 = 1³ + 2³ + 4³

74 = (-284650292555885)³ + (66229832190556)³ + (283450105697727)³

75 = 4381159³ + 435203083³ + (-435203231)³

76不可能

77不可能

78 = 26³ + 53³ + (-55)³

79 = (-19)³ + (-33)³ + 35³

80 = 69241³ + 103532³ + (-112969)³

81 = 10³ + 17³ + (-18)³

82 = (-11)³ + (-11)³ + 14³

83 = (-2)³ + 3³ + 4³

84 = (-8241191)³ + (-41531726)³ + 41639611³

85不可能

86不可能

87 = (-1972)³ + (-4126)³ + 4271³

88 = 3³ + (-4)³ + 5³

89 = 6³ + 6³ + (-7)³

90 = (-1)³ + 3³ + 4³

91 = 364³ + 192³ + (-381)³

92 = 1³ + 3³ + 4³

93 = (-5)³ + (-5)³ + 7³

94不可能

95不可能

96 = 10853³ + 13139³ + (-15250)³

97 = (-1)³ + (-3)³ + 5³

98 = 14³ + 9³ + (-15)³

99 = 2³ + 3³ + 4³

100 = 7³ + (-3)³ + (-6)³

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2 条留言  访客:1 条  博主:1 条

  1. 姜辰

    看了半天,睡着了。

    • 西狂

      哈哈,看到数学公式就瞌睡,正常的

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