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世界的本质——CHAOS(混沌)

2016-07-25 分类:科学漫步 作者:西狂 阅读(42)

第一章 运动与宿命

混乱思想起源于公元前六世纪的哲学家赫拉切利特的一个前沿想法:事物是永恒发展的,万物皆动,万物生万物,万物为万物。影片的前几分钟将会为大家描绘几个日常生活中和数学世界中的小例子。 科学能预测未来么?这是一个贯穿本片的古老问题。我们将从一些简单的事物开始并观察桌球中母球撞击子球的例子为。我们将五十个桌球同时放在桌上,让它们相互碰撞并且忽略所有摩擦力,电脑可以很容易算出每个球的路径,并且预测它们在一小时后会出现在哪里。 绝对论的想法是由保尔·霍尔巴赫第一次以以下的方式提出的:

对于大风卷起的烟尘之和击打在河面上的狂风暴雨,无论他们看起来是多么的无序复杂,但是没有任何一粒灰尘是被随机放置的,没有任何一滴水是毫无理由出现在它出现的地方的,然而他们看似并不按照他们应该的方式运动。一个了解系统整个受力情况和所有在运动中粒子特性的几何学家完全可以证明出粒子正是按照他们理应运动的方式而运动并且粒子只能那样运动。

我们须要无穷的智慧,正如拉普拉斯所说的……然而绝对论学说已经在研究星体运动时显示了他的局限性。地球在十亿年后将会身处何处?它有没有可能离开太阳系?难道试着去预测平均值,比如在某一季度中下雨的天数,不是比预测某地区十年后的天气更加有趣么?这是一个与绝对论相比相当不同的角度。

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第二章 向量场

在17世纪末,戈特弗里德·莱布尼茨与艾萨克·牛顿分别独自地发明了一种极其智慧的数学工具:无穷小微积分又名微积分:一个能够预测未来的无比灵验的水晶球,前提是已确知系统的现状以及施加于系统的力;这样的计算我们称作解微分方程。本片的第二章将会用乐高人仔为大家做一个简单的介绍。 我们该如何定义一个乐高人仔走路时的速度?我们知道平均速度是用他经过的距离和他经过这段距离所用的时间的比例来定义的。用这个方法,我们可以计算出他走每步的平均速度。 可是对于一辆行驶中的汽车的速度呢?这个问题的关键是我们把它的运动分割为一小段一小段的运动,这些分割后的运动非常的短以至于它们不会被发现。这就是导数或者微分的基础。 想象一条流动的河流,对于河流的每一点,我们完全有可能去计算水流在那一点的速度。我们然后绘制一段河流,并在问题中的那一点上画一个箭头,箭头的长度表示了速度的大小,箭头的方向表示了速度的方向。我们称这样的箭头为向量。对于河流中的任意一点,我们都可以画出这样一个向量。数学家把这些所有的向量称为向量场。 积分是微分的反面。我们现在的任务是计算一个给定向量场的轨迹。影片将会展示一个乐高人仔在向量场中按照一个给定路径的运动。在数学上,这就是柯西—莱布尼茨定理,它总结了绝对论:给定一个向量场,给定一个初始状态,那么仅有一条由初始状态出发的轨迹,并且此轨迹处处与速度向量相切。 正如我们已经用一个简单例子证明的,绝对论有其局限性。在1879年,物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦(1831-1879)强调了初始状态对于物理现象的重要性。

有句格言说道……相同的原因总会导致相同的结果……另有一句不可混为一谈的格言:「相近的原因导致相近的后果」,这句格言成真的前提是我们已知初始状况的微小变化仅能导致终极状态的微小变化。对于许多物理现象,这个条件却能成立;不过有些时候,即使是初始的微小变化,也能导致系统的末状态的巨变。

在本章的最后,我们看到了我们的乐高人仔在他们的飞行器中翱翔。这些图像现在可以告诉我们,在三维空间之中,情况会变得相当复杂。

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第三章 一些力学知识

物理学在很长一段时间里被亚里士多德的理论所主导:每个物体都有它应该在的位置,如果我们把它从它应有的地方挪开,它会尽其所能回到他原来的地方……我们周围的所有事情都寻求它的自然平衡。苹果之所以会落下,因为他的本性。月亮之所以围绕地球旋转也是因为他的本性。 在十七世纪,伽利略·伽利莱(1564-1642)研究了坠落的物体,然而是艾萨克·牛顿(1643-1727) 给出了宇宙之间的重力法则:

两个物体之间的相互吸引力正比于他们各自的质量,反比于他们之间距离的平方.

所有的物体,比方说苹果和月亮,都被地球所吸引。他们之间的力称之为重力。重力适用于我们周围的所有物体。现在想象一颗抽象的苹果,并假设除了重力之外,它不受其他外力,在苹果树附近,重力可以被看作为一个常向量,苹果脱离树枝的瞬间,没有任何速度,但之后重力作用在苹果上并且改变了它的速度。这就是牛顿的想法,力改变速度。 牛顿并不止步于此,他还告诉我们,如何从物体的受力算出它的轨迹。牛顿给出了物理学上最简单但也最重要的方程之一:F=ma。F,代表力;m,是物体的质量;而a 则是加速度。如果我们知道物体所受的外力和物体的质量,我们同样也可以知道它的加速度。如果我们同时还知道它的初始位置以及初始速度,牛顿的水晶球就能明确地预测物体的未来运动。 用牛顿的方程,我们可以构建一种行星排列:三颗行星,作用再它们上的力只有它们互相之间的吸引力,并且它们在相同的周期性轨迹上运行(假设我们可以给定它们合适的初始速度和初始位置)。许多其他的行星排列可以以类似方法构造。 至于为什么月亮不掉到地球上的问题:牛顿的解释是:月亮是在往下掉。如果没有互相的吸引力,月亮的运动轨迹是一条直线。然而,重力弯曲了月亮的轨迹,好让它永远地‘下坠’。月亮和地球之间的相对速度使之保持在它的轨道之上。如果速度太快,月亮将永久得消失在我们视线中……速度太慢,月亮和地球就会相撞…… 太阳系内,对于八大行星和数千颗小行星的研究是很困难的。那么对于大气中无数的分子呢? 研究向量场中的轨迹是要依靠大量的变量的,这是牛顿给我们提出巨大挑战……

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第四章 振动

我们需要两个数字来描述一个摆动的钟摆 :其一是它的位置,也就是摆线与垂线之间的夹角;其二是速度,其符号代表了它是从左到右还是从右到左。如果没有摩擦力,一个钟摆会无休无止地摆下去。伽利略·伽利莱在小时候就注意到这点了。是摩擦力使钟摆在一段时间之后停下的。 为了让一个钟摆持续摆动,我们需要推它。摩擦力使钟摆慢下来,不过如果我们在合适的时间,从合适的方向去推它,我们还是可以使它保持摆动的。我们可以将位置和速度放在图上,获得相位图。在我们的情况之中,相位图会成为一条美丽地封闭曲线。亨利·庞加莱称之为极限环。 1930年代的洛特卡-沃尔泰拉模型,是另外一个有关极限环的著名例子:两个种族在同一片陆地上生存:鸭子和睡莲。假设鸭子吃睡莲,那么当有许多睡莲的时候,鸭子也会吃饱喝足,数量也会增加。不过当有太多鸭子的时候,睡莲也会被大量吃掉,睡莲的数量也减少了。鸭子的数量因为没有实物所以也减少,使得睡莲增加。因此,这个环是封闭的,然后这个过程可以循环往复。 十九世纪末期,庞加莱创立了动力系统的理论。其奠基定理之一,似乎验证了这个信念。他认为,如此的运动,可能需要经过一段过渡时期,终会以一种稳定的状态结束:抑或是所有都停止,抑或是周期性的振动。这个理论适用于平面上的向量场。 这是庞加莱-本迪克森定理。其基本思想是不存在循环:一个不经过 p 点的轨迹可以回到P点的任意小邻域,但是并不可能彻底回到 p点(除非P点是周期性轨迹上的一点)。 这个定理仅仅是动力系统理论之一,不过它只是在平面上适用。庞加莱很快就发现了,对于空间中的向量场,我们将看到很多丰富多彩且令人惊艳的现象,不再有漂亮的极限环。让我们大步踏入混沌的世界中吧。

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第五章 桌球

研究天体的运动是非常复杂的,所以让我们来看一个更加简单的例子。一个在碗中的球的运动是看起来应该不是很难来理解。不过如果在碗里有一些凸起,那么这球的运动就变得非常复杂了。 在二十世纪之初,科学哲学家皮埃尔迪昂(1861-1916),介绍了数学家杰克阿达玛(1865-1963)在1898年以如下标题发表的内容:相反曲率曲面上的测地线。迪昂说的是一个物体从一个无限长的牛角上忽略摩擦力地落下。一个奇怪的想法,不是么? 我们先试着用一个简单的例子来解释阿达玛的想法:有桌球和一个圆柱形的障碍物,两个桌球撞击这个障碍物可以在很快的时间内走出完全不同的轨迹,即使他们的起始方向十分相似。 现在我们有一张无阻力的桌子和桌子上的三个圆柱形障碍物,A,B和C,它们以圆柱形排列。这三个字母的每一种排列组合,例如,ABABCABC……,总存在一种轨迹使这个桌球以字母排列顺序在其对应的障碍物之间弹。(当然AA是不可能的)。 这是迪昂关于物体从牛角上滑下的描述的一部分:

首先,有封闭的测地线。还有其他的测地线,虽然不会正好回到原本的出发点,但也不是无限距离;有些测地线总是围绕右边的牛角,另外一些则围绕左边;还有的更复杂,根据某种规则,在两角之间穿梭:在一只牛角上绕完预设的圈数后,又转到另一只角上绕预设的圈数。在这个牛的头颅上,还有趋于无尽的测地线:有的沿着右边牛角盘旋上升,有的则沿着左边的慢慢远离。

两条以相似方向出发的测地线可以走出完全不同的路线,迪昂是这样形容的:

如果在一个表面上滑出一个质点,并在几何上精确地给定它的初始位置和速度,那么通过数学推导,便可以确定这点的轨迹,并可以断言这轨迹是否会趋于无穷。不过对于物理学家而言,这种推论是毫无用处的。

注意这点巧妙的描述:测地线可以被数学方法计算,但是对于物理学却毫无用处。 这就是理论和实际的区别!

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第六章 混乱和马蹄铁

首先,让我们先说一个亨利庞加莱(1854-1912)的原始想法:当我们研究空间中的向量场时,我们有时可以找到一个小的圆盘,使轨迹反复地击打在圆盘上。研究这小圆盘上的点通常比研究整个向量场好容易得多。这样我们就把连续变化的向量场上的动力系统替换成为随离散时间变化的动力系统。 二十世纪六十年代初,年轻的美国数学家史蒂芬斯梅尔在科帕卡巴纳海滩上思考时,得到了一个新发现。他发现了一个马蹄铁。当然,不是在沙滩上!事实上他的马蹄铁,是一个抽象的数学概念:一种融合了压缩和缩放的变换,当然也是一种折叠。他将一个正方形转换成了马蹄形。这马蹄铁的动力系统是非常丰富多彩的而且对于未来和过去都是永久连续的。本章影片着重讲述了此马蹄铁是如何反复不断地复制变化的。 为了更好地理解它的动力系统,我们把两条垂直的条带称为A和B。令人惊奇的是我们得到了和阿达玛的台球测地线几乎相同的结果。对于每一个由A和B组成的有限序列,甚至包括那些可重复的,都有一个周期点恰好遵循这条路线。没有什么是不可能的!作为混沌的口号再好不过了! 更好地;斯梅尔证明了马蹄铁是稳定的。我们可以分解他,但是其内部的动力系统还是相同的:其轨迹依旧对初始条件很敏感。数学家将这个称之为结构稳定性混沌性,既有单个轨迹的不稳定性,又有结构稳定性,一个整体性质,并且这两者并存。这绝对是一个令人瞩目的现象。

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第七章 奇怪的吸引子

在1963年,爱德华洛伦茨(1917-2008),研究了地球的大气对流。纳维—斯托克斯方程所描述的流体动力学是十分难解的,他显著地简化了这个方程。他获得的数学模型也许和事实的大气情况大相径庭,这是一个被物理学家称为的玩具模型,不过洛伦茨很快就意识到这在数学方面是很有意思的。在这个模型里只有三个参数,所以每个(x,y,z)都代表了大气的一种状态。 天气的演变,最终归结到一个向量场的轨迹。这又是一个玩具模型,这个模型的目标是试着去理解一些复杂的行为。天气的演变,最终归结到一个向量场的轨迹。这又是一个玩具模型,这个模型的目标是试着去理解一些复杂的行为。我们现在来看许多理想化的初始条件,过一段时间,他们会形成一个形如蝴蝶的物体:洛伦茨吸引子。一个奇怪的吸引子! 理解洛伦茨吸引子是想当困难的!其内部的动力系统是如何运作的?20世纪70年代,柏曼、古根海墨、和威廉斯提出了一个简单的模型,用一张简单的纸条来尝试解释洛伦茨吸引子。用这个简单的模型,我们可以观察离散时间的动力系统。 直到2001年,才由数学家塔克证明了纸条模型的确刻画了洛伦茨运动:对于每道洛伦茨吸引子的路径,都有一条纸条上的路径,使得这两条路径的行为完全一样。 所有的这些当然只是一种与真实天气现象十分浅显的对比,不过这的确展示了数学家喜欢简单事物的事实!

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第八章 统计学

初始条件的依赖性在未来的一个系统可以看起来令人沮丧。然而,有一个积极的和建设性的方法。事实上,这个洛伦兹的实际信息,但它不是众所周知。 «更普遍,我建议这些年来,微小的扰动既不增加也不减少的出现不同重大天气灾害的频率,比如龙卷风。他们唯一能做的是改变这些事件的发生顺序。» 让我们选取三个洛伦茨吸引子的区域(他们可能是飓风、干旱条件或雪)。如果我们测量不同初始条件在这些区域的轨迹和时间比例,然后我们发现对于所有轨迹,这些比例收敛于相同的数字,即使轨迹三个地区相遇的顺序是难以理解的。 洛伦兹在物理学家霍华德和马库斯的帮助下发展了一个真正的物理系统。这个系统模拟了洛伦兹系统的动力子,所以再次声明,这根真正的气象学没有多大关系。这是一个由几桶水的重力运转的水车。三个参数可以描述它任意时刻的状态:两个坐标中心和一个角速度。这个水车对于初始条件也非常敏感,而且三个参数的3D图是个蝴蝶形状,就像洛伦兹的吸引子。 我们启动两个相同的磨坊的车轮,在不同的初始条件,我们尽可能的记下角速度。如果我们把数据转换成一个条形图,两个轮子运转图像,在经过一段时间后,基本重叠。 当对轨迹统计结果不敏感于初始条件时。我们说系统具有Sinai ruelle bowen测度:一个SRB测量。如果动力学涉及天气,然后由气象员来确定这些统计数据。 洛伦兹吸引子确实存在SRB测度,它变量随机变化明显,但是是以一个正确定义的概率变化。 通过重新聚焦于统计问题,科学仍然可以做出预测!

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第九章 混沌主义与否?

动力系统又许多种。有些复杂,有些简单。如果想很好的理解,我们需要选取一个只取决于一个参数的向量场,然后让这个参数缓慢变化。这表明了动力体系在这个参数的影响下,有时是简单的,然后,在没有预兆的情况下变得复杂。我们看到了分歧的产生。这给数学家们带来了一些经典的数学问题。飞机上的吸引子留下的痕迹,当一个参数改变时,看起来可以像一条带子,它被叫做分叉图。数学家们主要是寻找行永远成立的结果。然而,通常,他们从简单的例子开始,希望他们得到的结果对一般的情况都对。洛伦兹吸引子上在某些区域运动的轨迹时间比例,随时间变化向一个极值收敛。这就是SRB测度。那么这种情况是不是总是发生呢?很遗憾,回答是否定的。这可以用一个简单但是相当特别的由波恩发现的例子解释。洛伦兹吸引子上在某些区域运动的轨迹时间比例,随时间变化向一个极值收敛。这就是SRB测度。那么这种情况是不是总是发生呢?很遗憾,回答是否定的。这可以用一个简单但是相当特别的由波恩发现的例子解释。 巴西数学家 Jacob Palis ,在九十年代的时候,用公式表达了一系列的问题,如果这些问题解决了,将会使人们对混沌有一个整体的认识。Palis 的猜测是精确地数学语言的陈述,同时也相当专业。但是我们引入了一些在我们电影里。

  • 一个向量场应该只有限数目的吸引子
  • 初始条件应该会被其中之一的吸引子吸引
  • 每个吸引子应该有一个SRB测度来描述吸引子所吸引的相关轨线的渐近统计特征。

今天,我们不再把决定论看成是单个路径的演变而是看成一个群体的整体的发展。轨迹对于初始条件的敏感性似乎被某种统计上的稳定性所抵消。 有一整群的数学家此时此刻正努力证实这些猜想。他们有条不紊地一环扣着一环地验证。整体的图像似乎正在浮现出来至于这个图像是否显得过于乐观了?未来会告诉我们!

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